از بین حالات چهار گانه فوق حالتی که بیشتر به موضوع این رساله مربوط می شود حالت اخیر است. این حالت اگر چه ایده اصلی برای ارائه مدل ریاضی پارامتر جدید در فصل سوم را ایجاد کرده اما تفاوت های اساسی از نظر محتوا و کاربرد نیز با آن دارد که در جای خود به آن پرداخته می شود. به همین دلیل در ادامه بررسی این حالت به طور مبسوط مطرح می شود.

۲-۹ حساسیت جواب بهینه نسبت به خطای احتمالی در اندازه گیری داده ها

حساسیت جواب بهینه، نسبت به خطای احتمالی در اندازه گیری داده ها، یعنی اینکه مدل مورد استفاده تا چه میزان خطا در اندازه گیری ها را می‌تواند تحمل کند بدون آن که تغییر اساسی در جواب رخ دهد. منظور از تغییر اساسی در جواب، این است که یک واحد کارا به یک واحد ناکارا تبدیل شود یا بالعکس. برای بررسی این موضوع، روش های ریاضی وجود دارد که با حل یک مدل، می‌تواند حداکثر میزان خطای قابل تحمل را برای هر واحد پیدا کند، طوری که با آن میزان خطا در اندازه گیری ورودی ها وخروجی های واحد مورد نظر، وضعیت آن واحد بدون تغییر باقی بماند (از کارا به ناکارا یا برعکس تبدیل نشود).

با توجه به مشابهت موجود ( علی‌رغم تفاوت های اساسی ) بین آنچه در مرجع (Cooper,2011) آمده با آنچه در بخش ۳-۹ می‌آید، سعی محقق بر این است که با بسط و تفسیر توام با امانتداری علمی، لایه‌های زیرین و پنهان تفکر نویسنده مرجع مذکور را آشکار نماید تا بدین طریق مقدمه ای باشد برای بیان هدف اصلی این رساله.

برای تبیین چنین موضوعی، مسئله ای با چندین واحد تصمیم گیری که هر کدام یک ورودی را به یک خروجی تبدیل می‌کنند با عملکرد ی مشابه شکل ۲-۵ مورد نظر است :

Y

X

A

B

C

شکل ۲-۵ عملکرد تعدادی واحد یک ورودی – یک خروجی

نقاط A,B,C متناظر با واحد های کارا هستند . اگر ورودی و خروجی واحد متناظر با نقطه B به اشتباه اندازه گرفته شده باشد، چه اتفاقی می افتد؟ ممکن است وضعیت واقعی واحد B بهتر از وضعیت نمایش داده شده باشد. در این صورت B همچنان کاراست. تحلیل حساسیت با این حالت سر و کار ندارد. اما اگر وضعیت واقعی واحد B بدتر از نقطه فعلی آن باشد، ممکن است واحد B در واقع یک واحد ناکارا باشد. این احتمال وجود دارد که خروجی واقعی واحد B کمتر از خروجی فعلی آن باشد و یا ورودی واقعی آن بیشتر از ورودی فعلی آن باشد.

آنچه در (Cooper,2011) مطالعه شده است، مربوط به حالتی است که هم خطای در خروجی و هم خطای در ورودی وجود داشته و هر دو خطا به گونه ای باشد که وضعیت واقعی واحد B، بدتر از وضعیت فعلی آن باشد. حساسیت مدل به یافتن شعاع پایداری^[۵۰] واحد B مربوط است.

طبق تعریف، شعاع پایداری واحد B، عددی نامنفی مانند δ است به طوری که اگر خروجی های فعلی واحد B به میزان δ کم و ورودی هایش به همان اندازه اضافه شود، واحد B همچنان کارا باقی بماند اما تغییر بیش از آن، منجر به ناکارا شدن واحد B گردد.

پارامتر شعاع پایداری در شکل ۲-۶ نشان داده شده است. در این شکل، نقطه B^‘، آخرین وضعیتی است که واحد B با بدتر شدن عملکردش (کم شدن خروجی و اضافه شدن ورودی هر دو به میزان δ) همچنان کاراست.

Y

X

A

B

C

B’

δ

δ

شکل ۲-۶ بدتر شدن ورودی و خروجی B به اندازه δ

چنانچه مختصات نقاط A، B و C را به ترتیب با (x_A,y_A),(x_B,y_B),(x_C,y_C) نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه B^‘ برابر است با (x_B+δ,y_B-δ). از طرفی، هر نقطه از پاره خط واصل A و C را می توان به صورت میانگین موزون نقاط A و C نشان داد، یعنی:

(λ_Ax_A+ λ_Cx_C , λ_Ay_A+ λ_Cy_C)

λ_A + λ_C = ۱

λ_A , λ_C ≥ ۰

برای یافتن مقدار δ، کافی است مختصات نقطه B^‘ را در رابطه فوق قرار دهیم. خواهیم داشت:

x_B+δ = λ_Ax_A+ λ_Cx_C

y_B-δ = λ_Ay_A+ λ_Cy_C

λ_A + λ_C = ۱

λ_A , λ_C ≥ ۰

با حل دستگاه سه معادله – سه مجهول فوق (λ-ها و δ مجهول اند)، مقدار شعاع پایداری به دست می‌آید.

شکل ۲-۷ وضعیتی را که تعداد واحد های کارا افزایش می‌یابد نشان می‌دهد.

Y

X

A

B

C

D

B’’

B’

شکل ۲-۷ عملکرد واحد های کارای A,B,C,D

اگر چه از روی شکل پیدا‌ است که نقطه متناظر با واحد D نقشی در شعاع پایداری واحد B ندارد، اما در ادامه این مسأله به کمک مدل نشان داده می شود تا نیازی به روش ترسیمی نباشد.

مختصات هر نقطه از فضای هاشور خورده به صورت زیر نوشته می شود:

( λ_Ax_A+ λ_Cx_C+ λ_Dx_D , λ_Ay_A+ λ_Cy_C+ λ_Dy_D )

به طوری که

λ_A + λ_C + λ_D =۱ , λ_A, λ_C, λ_D ≥ ۰

حال اگر فرض شود، ورودی و خروجی واقعی واحد B هر دو به یک میزان ( به اندازه δ ) بدتر از وضعیت فعلی آن است، بدان معنا که نقطه متناظر با وضعیت واقعی واحد مورد بحث، بر روی پاره خط BB^‘B^” یا امتداد آن قرار دارد در این صورت، مختصات چنین نقطه ای برابر است با (xB+δ,yB-δ). اگر این مختصات در رابطه فوق (رابطه مربوط به فضای هاشورخورده) قرار گیرد، در آن صورت:

x_B+δ = λ_Ax_A + λ_Cx_C + λ_Dx_D

y_B-δ = λ_Ay_A + λ_Cy_C + λ_Dy_D

λ_A + λ_C + λ_D = ۱

λ_A , λ_C , λ_D ≥ ۰

هر جوابی که برای رابطه فوق به دست آید، متناظر با یکی از نقاط روی پاره خط B^‘ B” خواهد بود. اما نقطه B^‘، متناظر با پاسخی است که حداقل δ را داشته باشد. ‌بنابرین‏، شعاع پایداری واحد متناظر با نقطه B از حداقل کردن جواب دستگاه فوق حاصل می شود. لذا وقتی:

n تعداد واحد های کارا ، j اندیس واحد های کارا و واحد کارای صفر، واحد تحت بررسی برای سنجش شعاع پایداری است، پس پاسخ مدل زیر شعاع پایداری را نشان می‌دهد:

min δ, subject to:

S.t: x₀ + δ =

y₀ – δ =

λ_j ≥ ۰ (j=1,….n, j≠۰)

تفاوت های اساسی که بین موضوع شعاع پایداری و حاشیه امنیت کارایی به عنوان یک مفهوم کاملاً بدیع وجود دارد در بخش ۳-۹ آمده است.

فصل سوم

طراحی مدل ریاضی

روش شناسی تحقیق

۳-۱ مقدمه