نوع پاسخ های ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
حالت تساوی
۶۱
۴/۲۴
دلیل تساوی
۷۷
۸/۳۰
اجزای متناظر
۳۸
۲/۱۵
غلط
۱۴۴
۶/۵۷
بدون پاسخ
۲۱
۴/۸
نمودار ۴-۳ درصد پاسخ‌گویی به سؤال ۳
سؤال ۴)
در شکل زیر پاره‌خط AF و BE همدیگر را نصف کرده‌اند. دو مثلث ABC و CEF در چه حالتی همنهشت هستند و اجزای متناظر آن را بنویسید.
B
A
C
F
E
دانش‌آموزان در پاسخ به این سؤال باید با آن چه در صورت مسئله گفته شده تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین را بنویسند و از آن نتیجه بگیرند که طبق حالت (ض ز ض) دو مثلث برابرند و سپس اجزای متناظر را بنویسند.
۶/۲۷ درصد دانش‌آموزان حالت تساوی را درست نوشته بودند، ۸/۲ درصد دلیل تساوی را صحیح بیان کرده بودند، ۸/۰ درصد از دانش‌آموزان توانسته بودند اجزای متناظر را به درستی بنویسند، ۸/۱۰ درصد پاسخ نداده بودند و ۲/۹ درصد از دانش‌آموزان در نوشتن حالت تساوی دو جزء از یک مثلث را برابر هم نوشته بودند.
در بین پاسخ‌ها ۴/۲ درصد از دانش‌آموزان برای اثبات برابری از انطباق استفاده کرده بودند و گفته بودند اگر مثلث را از نقطه ی c تا کنیم روی هم قرار می‌گیرند. تعداد زیادی از دانش‌آموزان در نوشتن دلیل تساوی دو مثلث از تساوی AB=EF استفاده کرده بودند که در صورت سؤال برابر بیان نشده بودند. اما دانش آموزان به دلیل برابری ظاهری و از روی شکل این تساوی را بیان می‌کنند و الزامی برای اثبات آن نمی‌بینند.
جدول ۴-۵ یافته های مربوط به سؤال ۴
نوع پاسخ های ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
حالت تساوی
۶۹
۶/۲۷
دلیل تساوی
۷
۸/۲
اجزای متناظر
۲
۸/۰
غلط
۱۴۸
۲/۵۹
بدون پاسخ
۲۷
۸/۱۰
نمودار ۴-۴ درصد پاسخ‌گویی به سؤال ۴
سؤال ۵)
O مرکز دایره است، نشان دهید وتر AB=CD است.
C
O
A
B
D
دانش‌آموزان در پاسخ به این سؤال باید دو مثلث AOB و COD را در نظر بگیرند و ثابت کنند طبق حالت (ض‌زض) دو مثلث همنهشت هستند و سپس به وسیله نوشتن اجزای متناظر تساوی را نشان دهند.
همه دانش‌آموزانی که پاسخ داده بودند دو مثلث را درست انتخاب کرده بودند، اما فقط ۶/۱۹ درصد آن ها توانسته بودند دلیل تساوی را به درستی بیان کنند. چهار درصد از دانش‌آموزان پس از بیان تساوی دو مثلث توانسته بودند با نوشتن اجزای متناظر اثبات را کامل کنند. ۸/۶ درصد هم پاسخی به این سؤال نداده بودند.
۴/۲۴ درصد از دانش‌آموزان از تساوی AB و CD به عنوان دلیل برای تساوی دو مثلث استفاده کرده بودند. این دانش آموزان درکی از اینکه چه چیزی را قرار است ثابت کنند و مسیر آن چگونه است نداشتند و با دیدن این تساوی در صورت مسئله از آن برای حل سؤال استفاده کرده‌اند.
۸/۰ درصد از دانش‌آموزان هم از تطابق دو مثلث به عنوان دلیل برای برابری آن ها استفاده کرده بودند و ۶/۱ درصد از دانش‌آموزان در نوشتن دلایل برابری دو مثلث ازبرابری دو ضلع یک مثلث استفاده کرده بودند.
جدول ۴-۶ یافته های مربوط به سؤال ۵
نوع پاسخ های ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
دلیل تساوی
۴۹
۶/۱۹
نتیجه گیری از اجزای متناظر
۱۰
۴
نوشتن AB=CD به عنوان دلیل تساوی دو مثلث
۶۱
۴/۲۴
غلط
۱۸۴
۶/۷۳
بدون پاسخ
۱۷
۸/۶
نمودار ۴-۵ درصد پاسخ‌گویی به سؤال ۵
سؤال ۶)
در شکل زیر پاره‌خط AB=BC است، نشان دهید پاره‌خط BE=BD است.
C
A
E
D
B
در این سؤال دانش‌آموزان باید دو مثلث ABE و BCD را در نظر بگیرند و ثابت کنند دو مثلث همنهشت هستند و سپس با بهره گرفتن از اجزای متناظر برای BE و BD را نشان دهند.
از بین تمام کسانی که به این سؤال پاسخ داده بودند تنها ۶/۷ درصد از دانش‌آموزان دو مثلث را درست انتخاب کرده بودند. به دلیل اینکه دو مثلث در یک زاویه مشترک هستند و قسمتی از آن ها روی هم افتاده است، دانش‌آموزان در انتخاب آن ها دچار مشکل شده بودند. بسیاری از دانش‌آموزان دو مثلثی را که در طرفین قرار دارند و کاملا مجزا هستند را انتخاب کرده بودند.
۸/۲درصد از دانش‌آموزان توانسته بودند دلیل تساوی دو مثلث را درست بیان کنند ولی هیچ‌کدام از آن ها نتوانسته بودند اثبات را به طور کامل بیان کنند.۲۲ درصد هم به سؤال پاسخی نداده بودند.
۴/۲۰ درصد از دانش‌آموزان از تساوی BE و BD به عنوان دلیل برای تساوی دو مثلث انتخاب شده استفاده کرده بودند. در این سؤال هم مانند سؤال قبل دانش‌آموزان مفهوم اثبات را درک نکرده‌اند و نمی دانند چه چیز را باید ثابت کنند و چه چیز را می دانند که برابر است.
جدول ۴-۷ یافته های مربوط به سؤال ۶
نوع پاسخ ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
انتخاب صحیح دو مثلث
۱۹
۷٫۶
دلیل تساوی
۷
۲٫۸
نتیجه گیری از اجزای متناظر
۰
۰
غلط
۱۷۶
۷۰٫۴
بدون پاسخ
۵۵
۲۲
نمودار ۴-۶ درصد پاسخ‌گویی به سؤال ۶
سؤال ۷)
نشان دهید هر نقطه روی عمود منصف یک پاره‌خط از دو سر پاره‌خط به یک فاصله است.
این سؤال مربوط به کاربرد همنهشتی است. دانش‌آموزان برای این اثبات باید شکل رسم کنند و از روی شکل دو مثلث انتخاب کنند و با اثبات همنهشتی آن ها و نوشتن اجزای متناظر اثبات را کامل کنند.
۳۲ درصد از دانش‌آموزان شکل سؤال را به درستی رسم کرده بودند، ۸/۰ درصد تساوی دو مثلث را به درستی نوشته بودند . ۸/۰درصد هم به وسیله نوشتن اجزای متناظر اثبات را کامل بیان کرده بودند.
