۱‑۳
چنانچه ولتاژ به آرامی به تیر اعمال گردد یعنی از صفر شروع شده به آرامی افزایش یافته و به مقدار نهایی برسد، تیر تغییر شکل مشخصی یافته و آن راحفظ می‌کند که به این حالت تحریک استاتیکی می‌گویند. اما چنانچه ولتاژ به یکباره به تیر اعمال گردد تیر تغییر شکل یافته و به مقدار ماکزیممی از جابجایی می رسد، سپس دوباره جابجایی کم شده و به حالت اولیه باز می‌گردد. و این حالت تکرار می‌شود و تیر حول نقطه مشخصی که به مقدار ولتاژ اعمالی بستگی دارد شروع به نوسان می‌کند. این حالت را تحریک دینامیکی می‌گویند. با توجه به ماهیت غیرخطی نیروی الکتریکی که با کاهش فاصله بین تیر و صفحه زیرین به سرعت افزایش می‌یابد، پدیده ای به نام ناپایداری کششی در این سیستم‌ها مشاهده می‌گردد. دو نیروی اصلی بر روی تیر عمل می‌کنند یکی نیروی الکتریکی که در جهت نزدیک کردن تیر به صفحه زیرین عمل می‌کند و دیگری نیروی بازگرداننده حاصل از خاصیت کشسانی تیر که میل دارد آن را به حالت اولیه برگرداند. این دو نیرو در جهت خلاف هم عمل نموده و تعادل زمانی رخ می‌دهد که این دو با هم برابر گردند. با نزدیک شدن تیر به صفحه زیرین نیروی الکتریکی افزایش یافته و این افزایش به نوبه خود میل در نزدیک‌تر کردن تیر به این صفحه را دارد. این فیدبک مثبت سبب می شود که به ازای اعمال مقدار خاصی از ولتاژ که ولتاژ بحرانی ناپایداری کششی نامیده می‌شود، نیروی بازگرداننده قادر به مقابله بانیروی الکتریکی نباشد و تیر به یکباره جذب صفحه زیرین گردد. این پدیده را ناپایداری کششی[۲۲] می نامند. بسته به نوع تحریک که می‌تواند استاتیکی یا دینامیکی باشد دو نوع ناپایداری استاتیکی و دینامیکی داریم که ولتاژ بحرانی مربوط به هریک متفات می‌باشند. ناپایداری کششی در بسیاری موارد پدیده ای نامطلوب بوده و بایستی ولتاژ اعمالی کمتر از مقدار بحرانی آن باشد از این رو تعیین دقیق مرز این ناپایداری از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است[۱۰].
نیروی بین ملکولی واندروالس[۲۳]
مقدمه
تیرها و صفحات سازنده سیستم های نانو الکترومکانیکی از تعداد زیادی اتم و مولکول تشکیل شده اند. تعامل نیروهای بین این اجسام می‌تواند نسبت به نیروهای بین مولکولی در دامنه بسیار وسیع‌تری تاثیرگذار باشد. البته دامنه تاثیر به شکل، اندازه، جنس و خواص اجسام وابسته است. حتی پدیده دینامیک کوانتومی در شرایط خاص می‌تواند نقش مهمی در سیستم های نانو الکترومکانیکی بازی کند. وجود نیروی جاذبه بین دو اتم و یا مولکول خنثی باعث بوجود آمدن نیروی جاذبه بین دو جسم جدا از هم که صفحات آنها از هم فاصله کمی دارند، می‌شود. اولین بررسی‌ها در این زمینه توسط هاماکر انجام شد. تحقیقات وی با این فرض انجام شد که انرژی تعامل بین دو جسم مجموع تعامل بین تمام مولکول‌های یک جسم با تک تک مولکول های جسم دیگر است. این برهم‌کنش مولکولی عامل ایجاد نیرویی است، که باعث نزدیک شدن صفحات به هم می‌شود. به این نیرو، نیروی واندروالس می‌گویند[۱۱].
انرژی واندروالس با بهره گرفتن از مدل مشهور لئونارد- جونز [۱۲] محاسبه می‌شود. رابطه آن در حالت کلی، شامل دو عبارت جذب و دفع می‌شود. قسمت دافعه پتانسیل واندروالس ناچیز بوده و به سرعت محو می‌شود و قابل صرف‌نظر کردن در معادلات قبل از تماس سطوح با همدیگر است.
نیروی واندروالس بر واحد سطح تیر از رابطه زیر بدست می‌آید[۱۳]:
۱‑۴
در این رابطه، Ah ثابت هاماکر است.
تعامل نیروی واندروالس و الکترواستاتیک در نانوسوییچ
علاوه بر نیروی الکتریکی به خاطر فاصله بین تیر و صفحه زیرین، نیروی واندروالس روی تیر اثر گذاشته و آن را خم می‌کند. جهت نیروها در شکل ۱‑۵ نشان داده شده است. نیروی واندروالس مربوط به اندرکنش الکترواستاتیکی میان دوقطبی‌ها در مقیاس اتمی می‌باشد و تقابل بین نیروهای الکترواستاتیک و واندروالس با نیروی الاستیک تیر، سعی در بازگشت تیر به موقعیت اولیه آن می‌کند.
شکل ۱‑۵: نمایش تعادل نیروها برای نانو سوییچ کربنی بالای صفحه زمین با هندسه یک‌سرگیردار
نقش اصلی نیروی واندروالس کم کردن ولتاژ پولین و به همراه آن زیاد کردن گپ پولین است. در فاصله کمتر، نیروی الکتریکی دائماً بزرگتر می‌شود، به خاطر اینکه اثر نیروی واندروالس موجب نزدیک‌شدن تیر به صفحه زمینه می‌شود[۱۴, ۱۵].
تئوری تنش غیرمحلی
تئوری‌های غیرمحلی میدان پیوسته به حجم فیزیکی کل ماده مربوط می‌شود، به‌طوری که رفتار ماده در یک نقطه، تحت تاثیر حالت تمامی نقاط آن ماده قرار می‌گیرد. با توجه به تصور کلاسیک، نقاط مادی یک جسم، پیوسته در نظر گرفته‌شده و متغیرهای فیزیکی مستقلی به آن نسبت داده می‌شود. (مانند جرم، بار الکتریکی، میدان الکتریکی، میدان مغناطیسی). حالت ماده در یک نقطه مادی، با کمک ارتباط میان متغیرهای پاسخ ( مانند تنش، انرژی داخلی، گرما) که کلاس دیگری به عنوان توابعی از متغیرهای مستقل می‌سازند، توصیف می‌شود.
تئوری غیرمحلی، تئوری محیط پیوسته را از دو جنبه عمومیت داده است:
۱- قانون بقای انرژی برای کل جسم برقرار است. ۲- حالت جسم در یک نقطه مادی با توابع پاسخ توصیف می‌شود، یعنی متغیرهای مستقل در کلیه نقاط جسم بایستی معلوم باشند تا رفتار ماده در هر نقطه قابل توصیف باشد.
دامنه کاربرد تئوری‌های کلاسیک محیط پیوسته، اساساً به ابعاد طول و زمان مربوط می‌شود. اگر L، طول مشخصه خارجی (مثلا، طول ترک، طول‌موج، و طولی که بارهای اعمال شده روی آن هموار است.) و l طول مشخصه داخلی (اندازه ریزدانه، پارامتر بلوری) را بیان کند، پس در ناحیه ، تئوری‌های محیط پیوسته به اندازه کافی نتایج دقیقی را پیش‌بینی می‌کنند. از سوی دیگر، موقعی که ، تئوری‌های محلی با شکست مواجه شده و باید تئوری‌های غیرمحلی و یا اتمی که می‌توانند جاذبه بین‌اتمی را برای دامنه بلند توصیف کنند، استفاده شوند. برای مسائل دینامیکی نیز مشابهت زیادی برای نسبت T/τ وجود دارد که T، زمان مشخصه خارجی ( به عنوان مثال زمان مشخصه بار اعمالی) و τ، زمان مشخصه داخلی (مثلا زمان انتقال یک سیگنال از ملکولی به ملکول مجاورش) است. مانند قبل موقعی که ، تئوری کلاسیک با شکست مواجه می‌شود[۱۶].
بر اساس این تئوری میدان تنش در نقطه x، در یک ماده الاستیک نه تنها به میدان کرنش در آن نقطه بلکه به کرنش در تمامی نقاط دیگر ماده نیز وابسته است. برای مواد الاستیک خطی، همگن و ایزوتروپ، یک تانسور تنش غیرمحلی nlσ در نقطه x، به صورت زیر قابل بیان است:
۱‑۵
که در آن (x)σ، معرف تنش کلاسیک ماکروسکوپیک در نقطه x، و تابع وزن بیانگر مدول غیرموضعی می باشند. که در آنها بیانگر فاصله می‌باشد. تنش ماکروسکوپیک σ، در یک نقطه x از جامد هوکی به کرنش ɛ در آن نقطه از طریق قانون هوک تعمیم یافته به صورت زیر مربوط است:
۱‑۶
